* ? 9.8*year^2/LY
    1.031573362662779    
a= 1.031573362662779  
x0=1/a
(dx+x0)/x0=cosh(a*tau)
tau=2 ArcCosh[(dx/2+x0)/x0]/a

In[5]:= 2*ArcCosh[(15.25/2+x0)/x0]/a                                            
Out[5]= 5.56848

In[6]:= 2*ArcCosh[(45.9/2+x0)/x0]/a                                             
Out[6]= 7.55838

In[7]:= 2*ArcCosh[(25600/2+x0)/x0]/a                                            
Out[7]= 19.7398

In[8]:= 2*ArcCosh[(2500000/2+x0)/x0]/a                                          
Out[8]= 28.6221

beta=tanh(a*tau)
(1-Tanh[a*5.56848/2])/(1+Tanh[a*5.56848/2]) (* apply twice removes Sqrt *)
In[9]:= (1-Tanh[a*5.56848/2])/(1+Tanh[a*5.56848/2])                             
Out[9]= 0.00320099

In[10]:= (1-Tanh[a*%6/2])/(1+Tanh[a*%6/2])                                      
Out[10]= 0.000410957

In[11]:= (1-Tanh[a*%7/2])/(1+Tanh[a*%7/2])                                      
                   -9
Out[11]= 1.43369 10

In[12]:= (1-Tanh[a*%8/2])/(1+Tanh[a*%8/2])                                      
                  -13
Out[12]= 1.5038 10


textbook: 4.9 

In[1]:= t={{2,5},{-3,1}}                                                        

Out[1]= {{2, 5}, {-3, 1}}

In[2]:= a={{1,1},{-1,1}}/Sqrt[2]                                                

             1        1            1         1
Out[2]= {{-------, -------}, {-(-------), -------}}
          Sqrt[2]  Sqrt[2]      Sqrt[2]   Sqrt[2]

In[3]:= A={-2,5}                                                                

Out[3]= {-2, 5}

In[4]:= B=t.A                                                                   

Out[4]= {21, 11}

In[5]:= Bp=a.B                                                                  

Out[5]= {16 Sqrt[2], -5 Sqrt[2]}

In[6]:= tp=a.t.Transpose[a]                                                     

                -3                     -3
              ------- + Sqrt[2]      ------- + Sqrt[2]
              Sqrt[2]                Sqrt[2]
Out[6]= {{3 + -----------------, 3 - -----------------}, 
                   Sqrt[2]                Sqrt[2]
 
             -3                      -3
           ------- - Sqrt[2]       ------- - Sqrt[2]
           Sqrt[2]                 Sqrt[2]
>    {-2 + -----------------, -2 - -----------------}}
                Sqrt[2]                 Sqrt[2]

In[7]:= Simplify[%]                                                             

          5  7      9   1
Out[7]= {{-, -}, {-(-), -}}
          2  2      2   2

In[8]:= Ap=a.A                                                                  

            5                  5
Out[8]= {------- - Sqrt[2], ------- + Sqrt[2]}
         Sqrt[2]            Sqrt[2]

In[9]:= Bp=tp.Ap                                                                

                                    -3
                                  ------- + Sqrt[2]
             5                    Sqrt[2]
Out[9]= {(------- + Sqrt[2]) (3 - -----------------) + 
          Sqrt[2]                      Sqrt[2]
 
                                 -3
                               ------- + Sqrt[2]
          5                    Sqrt[2]
>     (------- - Sqrt[2]) (3 + -----------------), 
       Sqrt[2]                      Sqrt[2]
 
                                 -3
                               ------- - Sqrt[2]
         5                     Sqrt[2]
>    (------- + Sqrt[2]) (-2 - -----------------) + 
      Sqrt[2]                       Sqrt[2]
 
                                  -3
                                ------- - Sqrt[2]
          5                     Sqrt[2]
>     (------- - Sqrt[2]) (-2 + -----------------)}
       Sqrt[2]                       Sqrt[2]

In[10]:= Simplify[%]                                                            

Out[10]= {16 Sqrt[2], -5 Sqrt[2]}